同济大学数学系《高等数学》（第7版）（下册）配套题库【考研真题精选＋章节题库】

【内容节选】 第一部分　考研真题精选第8章　向量代数与空间解析几何填空题（把答案填在题中横线上）点（2，1，0）到平面3x＋4y＋5z＝0的距离d＝______。[数一2006研]【答案】【解析】由点到平面的距离公式第9章　多元函数微分法及其应用一、选择题1设函数f（x，y）在点（0，0）处可微，f（0，0）＝0，，且非零向量d(→)与n(→)垂直，则（　　）。[数一2020研]A．存在B．存在C．存在D．存在【答案】A查看答案【解析】∵f（x，y）在（0，0）处可微，f（0，0）＝0，∴；即。∵，∴存在。∴选A项。2关于函数给出下列结论①∂f/∂x|（0，0）＝1②∂2f/∂x∂y|（0，0）＝1③④正确的个数为（　　）。[数二2020研]A．4B．3C．2D．1【答案】B查看答案【解析】①因，故①正确。②因，先求fx′（0，y），而当y≠0时，不存在；当y＝0时，；综上可知，fx′（0，y）不存在。故∂2f/∂x∂y|（0，0）不存在，因此②错误。③当xy≠0时，，当（x，y）沿着y轴趋近于（0，0）点时，；当（x，y）沿着x轴趋近于（0，0）点时，；综上可知，，故③正确。④当y＝0时，；当y≠0时，，故，则，故④正确。综上，正确个数为3。故应选B。3函数f（x，y，z）＝x2y＋z2在点（1，2，0）处沿向量u(→)＝（1，2，2）的方向导数为（　　）。[数一2017研]A．12B．6C．4D．2【答案】D查看答案【解析】计算方向余弦得：cosα＝1/3，cosβ＝cosγ＝2/3。偏导数fx′＝2xy，fy′＝x2，fz′＝2z。得∂f/∂u＝fx′cosα＋fy′cosβ＋fz′cosγ＝4·（1/3）＋1·（2/3）＋0·（2/3）＝2。4设f（x，y）具有一阶偏导数，且在任意的（x，y），都有则（　　）。[数二2017研]A．f（0，0）＞f（1，1）B．f（0，0）＜f（1，1）C．f（0，1）＞f（1，0）D．f（0，1）＜f（1，0）【答案】D查看答案【解析】由知，函数f（x，y）关于x单调递增，故f（0，1）＜f（1，1）；同理，由知，函数f（x，y）关于y单调递减，故f（1，1）＜f（1，0），因此f（0，1）＜f（1，0）。5二元函数z＝xy（3－x－y）的极值点是（　　）。[数三2017研]A．（0，0）B．（0，3）C．（3，0）D．（1，1）【答案】D查看答案【解析】对方程组求解，得驻点（0，0），（0，3），（3，0），（1，1）。进一步求二阶导：对于点（0，0），（0，3），（3，0），计算得AC－B2＝3＜0，这三点都不是极值点。对于点（1，1），计算得AC－B2＝3＞0，又A＝－2，所以函数z＝xy（3－x－y）在点（1，1）处有极大值1。6已知函数f（x，y）＝ex/（x－y），则（　　）。[数二2016研]A．fx′－fy′＝0B．fx′＋fy′＝0C．fx′－fy′＝fD．fx′＋fy′＝f【答案】D查看答案【解析】因为所以二、填空题1设函数，则____。[数一2020研]【答案】4e查看答案【解析】2设z＝arctan[xy＋sin（x＋y）]，则dz|（0，π）＝______。[数二2020研]【答案】（π－1）dx－dy查看答案【解析】因为从而故dz|（0，π）＝（π－1）dx－dy。3设函数f（u）可导，z＝f（siny－sinx）＋xy，则（1/cosx）·（∂z/∂x）＋（1/cosy）·（∂z/∂y）＝______。[数一2019研]【答案】（y/cosx）＋（x/cosy）查看答案【解析】由于∂z/∂x＝f′（u）（－cosx）＋y∂z/∂y＝f′（u）cosy＋x所以（1/cosx）·（∂z/∂x）＋（1/cosy）·（∂z/∂y）＝y/cosx＋x/cosy。4设函数z＝z（x，y）由方程lnz＋ez－1＝xy确定，则______。[数二2018研]【答案】1/4查看答案【解析】方程两端同时对x求偏导，得将x＝2，y＝1/2代入原方程可得z＝1，再将x＝2，y＝1/2，z＝1代入求导之后的方程可得5设函数f（x，y）具有一阶连续偏导数，且df（x，y）＝yeydx＋x（1＋y）eydy，f（0，0）＝0，则f（x，y）＝______。[数二2017研]【答案】xyey【解析】由题意可知fx′（x，y）＝yey，fy′（x，y）＝x（1＋y）ey。因此f（x，y）＝∫yeydx＝xyey＋c（y），对该等式关于y求导得fy′（x，y）＝xey＋xyey＋c′（y）＝x（1＋y）ey＋c′（y）。又由fy′（x，y）＝x（1＋y）ey，知c′（y）＝0，即c（y）＝c。结合f（0，0）＝0，计算得c＝0，所以f（x，y）＝xyey。6设函数f（u，v）可微，z＝z（x，y）由方程（x＋1）z－y2＝x2f（x－z，y）确定，则dz|（0，1）＝______。[数一2016研]【答案】－dx＋2dy查看答案【解析】方程（x＋1）z－y2＝x2f（x－z，y）两边分别关于x，y求导，得z＋（x＋1）zx′＝2xf（x－z，y）＋x2f1′（x－z，y）（1－zx′）（x＋1）zy′－2y＝x2[f1′（x－z，y）（－zy′）＋f2′（x－z，y）]当x＝0，y＝1时，z＝1。将x＝0，y＝1，z＝1代入得zx′＝－1，zy′＝2，所以dz|（0，1）＝－dx＋2dy。三、解答题1求函数f（x，y）＝x3＋8y3－xy的极值。[数一2020研]解：先求一阶偏导数得到驻点：解得驻点有（0，0），（1/6，1/12）。再求二阶偏导数：对于（0，0）点：A＝0，B＝－1，C＝0，由于AC－B2＜0，可知（0，0）点不是极值点；对于（1/6，1/12）点：A＝1，B＝－1，C＝4，由于AC－B2＞0且A＞0，可知（1/6，1/12）点为极小值点，极小值f（1/6，1/12）＝－1/216。2已知函数u（x，y）满足求a，b的值，使得在变换u（x，y）＝v（x，y）eax＋by之下，上述等式可化为函数v（x，y）的不含一阶偏导数的等式。[数二2019研]解：u对x的偏导数为u对y的偏导数为因此有代入题中所给的微分方程，得最后解得a＝0，b＝3/4。3设函数f（u，v）具有2阶连续偏导数，函数g（x，y）＝xy－f（x＋y，x－y），求∂2g/∂x2＋∂2g/（∂x∂y）＋∂2g/∂y2。[数三2019研]解：首先求g（x，y）对x、y的一阶偏导数∂g/∂x＝y－f1′－f2′，∂g/∂y＝x－f1′＋f2′。因为f（u，v）具有2阶连续偏导数，所以有f12″＝f21″，进一步可得g对x、y的二阶偏导数：∂2g/∂x2＝－f11″－f12″－f21″－f22″＝－f11″－2f12″－f22″∂2g/（∂x∂y）＝1－f11″＋f12″－f21″＋f22″＝1－f11″＋f22″∂2g/∂y2＝－f11″＋f12″＋f21″－f22″＝－f11″＋2f12″－f22″因此∂2g/∂x2＋∂2g/（∂x∂y）＋∂2g/∂y2＝1－3f11″－f22″。4将长为2m的钢丝分为三段，依次围成圆、正方形和正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。[数一2018研]解：设圆的半径为x，正方形边长为y，正三角形边长为z，则有2πx＋4y＋3z＝2，其中x≥0，y≥0，z≥0．三个图形面积之和为利用拉格朗日乘数法，拉格朗日函数求解上述方程得到，驻点为，此时三个图形总面积最小，最小面积为5设函数f（u，v）具有2阶连续偏导数，y＝f（ex，cosx），求，。[数一2017研]解：因为y＝f（ex，cosx），所以dy/dx＝f1′（ex）′＋f2′（cosx）′＝f1′ex－f2′sinx。即由上述过程知d2y/dx2＝（f1′ex－f2′sinx）′＝（f11″ex－f12″sinx）ex＋f1′ex－（f21″ex－f22″sinx）sinx－f2′cosx所以6已知函数z＝z（x，y）由方程（x2＋y2）z＋lnz＋2（x＋y＋1）＝0确定，求z＝z（x，y）的极值。[数二2016研]解：方程两边分别对x，y求偏导得令∂z/∂x＝0，∂z/∂y＝0，得解得x＝y＝－1/z。将代入原方程中，得（x2＋x2）（－1/x）＋ln（－1/x）＋2（x＋x＋1）＝0，解得（1）式两边分别对x，y求偏导得（2）式两边对y求偏导得将分别代入（3）、（4）、（5）得可得：AC－B2＝4/9＞0，A＜0。所以（x，y）＝（－1，－1）为极大值点，极大值为z＝1。7已知函数f（x，y）＝x＋y＋xy，曲线C：x2＋y2＋xy＝3，求f（x，y）在曲线C上的最大方向导数。[数一2015研]解：根据方向导数与梯度的关系知，f（x，y）沿着梯度方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模。因为f′x（x，y）＝1＋y，f′y（x，y）＝1＋x，故gradf（x，y）＝{1＋y，1＋x}，模为，此题目转化为对函数在约束条件C：x2＋y2＋xy＝3下的最大值，即为条件极值问题。为了计算简单，可以转化为对d（x，y）＝（1＋y）2＋（1＋x）2在约束条件C：x2＋y2＋xy＝3下的最大值。构造函数：F（x，y，λ）＝（1＋y）2＋（1＋x）2＋λ（x2＋y2＋xy－3）。令得到M1（1，1），M2（－1，－1），M3（2，－1），M4（－1，2）。因此d（M1）＝8，d（M2）＝0，d（M3）＝9，d（M4）＝9故f（x，y）在曲线C上的最大方向导数为。