第2章 线性回归的基本思想：双变量模型
一、问题
1解释概念
（1）总体回归函数（PRF）；
（2）样本回归函数（SRF）；
（3）随机总体回归函数；
（4）线性回归模型；
（5）随机误差项（ui）；
（6）残差项（ei）；
（7）条件期望；
（8）非条件期望；
（9）回归系数或回归参数；
（10）回归系数的估计量。
答：（1）总体回归函数（PRF）反映了被解释变量的均值同一个或多个解释变量之间的关系。
（2）样本回归函数（SRF）是总体回归函数的近似。
（3）随机总体回归函数从总体上表明了单个Y同解释变量和随机干扰项之间的关系。
（4）线性回归模型是指回归参数为线性的回归模型。
（5）随机误差项（ui）代表了与被解释变量Y有关但未被纳入模型变量的影响。每一个随机误差项对于Y的影响都是非常小的，且是随机的。随机误差项的均值为零。
（6）残差项（ei）是随机误差项的近似。
（7）条件期望是指在给定解释变量X的条件下Y的条件期望，条件期望可以通过给定X时Y的条件（概率）分布得到。
（8）非条件期望是在不考虑其他随机变量取值情况时，某个随机变量的期望值。它可以通过该随机变量的非条件分布或边缘分布得到。
（9）线性回归模型中的B参数称为回归系数或回归参数。
（10）回归系数估计量（bs）说明了如何通过样本数据来计算回归系数（Bs），计算出的回归系数的值称为样本回归估计值。
2随机总体回归函数与随机样本回归函数有何区别？
答：随机样本回归函数从所抽取样本的角度说明了被解释变量Yi同解释变量Xi及残差ei之间的关系。而总体回归函数则是从总体的角度说明了被解释变量Yi同解释变量Xi及随机误差项ui之间的关系。
3讨论：“既然不能观察到总体回归函数，为什么还要研究它呢？”
答：就像经济理论中的完全竞争模型一样，总体回归函数也是一个理论化的、理想化的模型，在现实中很难得到。但是这样一个理想化的模型有助于我们把握所研究问题的本质，所以对它的研究仍然有很大的意义。
| 内容来源 |
古扎拉蒂《经济计量学精要》第4版课后习题答案 |
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4判断正误并说明理由。
（1）随机误差项ui与残差项ei是一回事。
（2）总体回归函数给出了与自变量每个取值相对应的因变量的值。
（3）线性回归模型意味着模型变量是线性的。
（4）在线性回归模型中，解释变量是因，因变量是果。
（5）随机变量的条件均值与非条件均值是一回事。
（6）式（2-2）中的回归系数B是随机变量，但式（2-4）中的回归系数b是参数。
（7）式（2-1）中的斜率B2度量了X的单位变动引起的Y的倾斜度。
（8）实践中双变量回归模型没有什么用，因为因变量的变化不可能仅由一个解释变量来解释。
答：（1）错误。残差ei是随机误差项ui的一个近似（估计值）。
（2）错误。总体回归函数给出了在解释变量给定条件下被解释变量的条件均值。
（3）错误。线性回归模型是指所建立的模型中的回归系数为线性，而其中的解释变量不要求一定为线性的。
（4）错误。通常情况下，解释变量与被解释变量之间的因果关系是由经济理论决定的，而不是由回归模型决定的。
（5）错误。只有X和Y独立时，E（Y/X）和E（Y）才相等，条件均值与非条件均值才是一回事。
（6）错误。b是随机变量，而B是参数。
（7）错误。它度量了X每变动一单位Y的均值的变化量。
（8）错误。实际上，有很多经济现象可以通过两变量模型来解释，例如在资产组合理论中通常会以某一证券的回报率作为被解释变量，以股票市场指数（如S&P500指数）作为解释变量进行回归。回归结果中斜率的估计值就是在资产组合理论中得到广泛运用的β系数。
5下面两者之间有什么关系？
（1）B1和b1
（2）B2和b2
（3）ui和ei
上述哪些量可以观察得到？如何观察得到？
答：（1）b1是B1的回归估计量。
（2）b2是B2的回归估计量。
（3）ei是ui的估计量。
在现实中，我们无法观测到B1、B2和ui，但是只要得到一组观测数据，就可以通过b1、b2和ei得到它们的估计值。
6能否把教材式（2-22）改写成X对Y的函数？如何解释变换后的方程？
答：通过简单的代数变换，可得Xt＝2.5－2.5Yt，以实际产出为因变量，失业率为自变量进行回归便可以得到奥肯定律回归系数的估计值。
7下表列出了若干对自变量与因变量。对每一对变量，它们之间的关系如何？是正的？负的？还是无法确定？也就是说，其斜率是正还是负，或都不是？说明理由。
答：（1）这取决于利率水平对构成GDP的各部分（居民消费、投资、政府消费和进出口）的影响。例如，在其他条件不变的前提下，投资同利率之间应是负相关的。
（2）斜率为正，在其他条件不变的情况下，利率水平越高，人们储蓄的欲望越大。
（3）一般情况下，斜率为正。降雨量越多，小麦产出越多。
（4）国际形势不发生重大改变的情况下，斜率为正。苏联国防开支越多，美国国防开支越多。
（5）斜率可能为正。年薪越高，对球员的激励就越强，本垒打的次数就越多。
（6）斜率可能为负，民众对总统越熟悉，对总统产生厌恶的可能性越大。
（7）斜率可能为正。S.A.T分数越高，说明学习能力更强，第一年GPA就更高。但也不排除有一些特殊情况。
（8）斜率为正，统计学是计量经济学的基础。
（9）斜率为正，当收入增加时，可自由支配的收入也增加，从而导致对较为昂贵汽车的需求上升，而大部分日本汽车都较为昂贵，因此人们对日本汽车的需求会上升。通常情况下，这一类商品的收入弹性为正，且大于1。
……
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