尼科尔森微观经济理论第11版课后习题参考答案

尼科尔森《微观经济理论——基本原理与扩展》第11版课后习题答案详解 【完整内容点击文中链接获取】

1．已知U（x，y）＝4x²＋3y²。

（1）计算∂U/∂x:∂U/∂y。

（2）当x＝1，y＝2时，求这两个偏导数的值。

（3）写出U的全微分。

（4）当dU＝0，计算dy/dx，即保持U不变，y和x的替代关系如何？

（5）说明当x＝1，y＝2时，U＝16。

（6）当x＝1，y＝2时，x，y要以怎样的比例微小变化才能保持U＝16不变？

（7）U＝16的等高线是什么图形？它各点的斜率是多少？

解：（1）对于函数U（x，y）＝4x²＋3y²，其关于x和y的偏导数分别为：

∂U/∂x=8x, ∂U/∂y=6y

（2）当x＝1，y＝2时，（1）中的偏导数值分别为：

∂U/∂x|_x=1=8, ∂U/∂y|_y=2=12

（3）U的全微分为：

dU=(∂U/∂x)dx+(∂U/∂y)dy=8xdx+6ydy

（4）当dU＝0时，由（3）可知：8xdx＋6ydy＝0

从而可以解得：

dy/dx=-8x/6y=-4x/3y

（5）将x＝1，y＝2代入U的表达式，可得：U＝4×1＋3×4＝16。

（6）由（4）可得，在x＝1，y＝2处，当保持U＝16不变，即dU＝0时，有：

dy/dx=-4x1/3x2=-2/3

（7）当U＝16时，该函数变为4x²＋3y²＝16，因而该等高线是一个以原点为中心的椭圆。由（4）可知，该等高线在（x，y）处的斜率为：

dy/dx=-(4x/3y)

2．假设某企业的总收入只由产量决定，且关系式为R＝70q－q²，总成本也只由q决定，C＝q²＋30q＋100。

（1）要使利润（R－C）最大化，产量定为多少？最大利润是多少？

（2）说明（1）问题的答案满足极值的二阶条件。

（3）结果满足“边际收益＝边际成本”原则吗？请解释。

解：（1）公司的利润函数为：π＝R－C＝－2q²＋40q－100

利润最大化的一阶条件为：

dπ/dq=-4q+40=0

从而可以解得利润最大化时的产量为：q^*＝10

相应的最大化的利润为：π^*＝－2×10²＋40×10－100＝100

（2）在q^*＝10处，利润最大化的二阶条件为：

d²π/dq²=-4<0

因而满足利润最大化的二阶条件。

（3）在q^*＝10处，边际收益为：

MR=dR/dq=70-2q^*=50

边际成本为：

MC=dC/dq=2q^*+30=50

因而有MR＝MC＝50，即“边际收益等于边际成本”准则满足。

3．设f（x，y）＝xy，在x＋y＝1的约束条件下分别用代入消元法和拉格朗日乘数法求最大值。

解：（1）代入消元法

由x＋y＝1可得：y＝1－x，将其代入f可得：f＝xy＝x－x²，

从而有：

dƒ/dx=1-2x=0

可以解得：x＝0.5，y＝0.5，f＝0.25。

（2）拉格朗日乘数法

构造拉格朗日函数：L＝xy＋λ（1－x－y）

一阶条件为：

∂L/∂x=y-𝜆=0

∂L/∂y=x-𝜆=0

∂L/∂𝜆=1-x-y=0

从而可以解得：x＝y＝0.5，f＝xy＝0.25。

内容来源	尼科尔森《微观经济理论》（第11版）笔记和课后答案

4．上一题的对偶问题是给定xy＝0.25，求x＋y的最小值。用拉格朗日乘数法求解。比较这两题中算出的拉格朗日乘数的大小，并解释其关系。

解：（1）设最小化问题的拉格朗日函数为：L＝x＋y＋λ（0.25－xy）

一阶条件为：

∂L/∂x=1-𝜆y=0

∂L/∂y=1-𝜆x=0

∂L/∂𝜆=0.25-xy=0

由前两个方程式可得：x＝y，联立第三个方程式，解得：x＝y＝0.5。

（2）将本题与第3题进行比较可知，两种情况下求得的拉格朗日乘数的值分别为0.5和2，互为倒数。这是因为第3题中受约束的最大化问题是本题中受约束的最小化问题的一个对偶问题。

5．垂直向上抛球，t秒后高度为f（t）＝－0.5gt²＋40t（其中g是重力加速度）。

（1）达到最高点时t为多少？将其写成g的函数。

（2）用上一问的结果解释当g发生改变时，最高点高度如何变化。

（3）用包络定理求解第（2）小题。

（4）在地球上g＝32，但在不同的地方略有不同。如果两地g相差0.1，球能达到的最大高度大约差多少？

解：（1）对高度函数f（t）＝－0.5gt²＋40t关于时间求导数可得：

dƒ/dt=-gt+40=0

从而可以解得使高度最大的时间为：t^*＝40/g，从而可知小球处于最高处的时间t与参数g成反比例关系。

（2）将t^*＝40/g代入高度函数中可得：

ƒ(t^*)=-0.5g(40/g)²+40x(40/g)=800/g

从而有：

∂ƒ(t^*)/∂g=-800/g²<0

即随着g的增大，最大高度将变小。

（3）由包络定理可知：∂ƒ/∂g=-0.5(t^*)²取决于g，这是因为t^*取决于g。

因而有：

∂ƒ/∂g=-0.5(t^*)²=-0.5(40/g)²=-800/g²<0

（4）当g＝32时，最大高度为：f＝800/32＝25；

当g＝32.1时，最大高度为：f＇＝800/32.1≈24.92；

因而两地最大高度的差异为：∆f＝f＇－f＝24.92－25＝－0.08。

……

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