同济大学工程数学线性代数第六版课后答案

[大] [中] [小] 发布人：达聪学习网发布日期：2022-05-19 共101人浏览过

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同济大学数学系《工程数学—线性代数》（第6版）笔记和课后习题（含考研真题）详解【完整内容点击文中链接获取】

第1章行列式
1、利用对角线法则计算下列三阶行列式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
解：（1）原式＝2×（－4）×3＋0×（－1）×（－1）＋1×1×8－1×（－4）×（－1）－2×（－1）×8－0×1×3＝－4。
（2）原式＝acb＋bac＋cba－c3－a3－b3＝3abc－a3－b3－c3。
（3）原式＝1·b·c2＋1·c·a2＋1·a·b2－1·b·a2－1·c·b2－1·a·c2＝bc2＋ca2＋ab2－ba2－cb2－ac2＝c2（b－a）＋ab（b－a）－c（b2－a2）＝（a－b）（b－c）（c－a）。
（4）原式＝x（x＋y）y＋yx（x＋y）＋（x＋y）yx－（x＋y）3－x3－y3＝－2（x3＋y3）。
2、按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：
（1）1 2 3 4；
（2）4 1 3 2；
（3）3 4 2 1；
（4）2 4 1 3；
（5）13…（2n－1）24…（2n）；
（6）13…（2n－1）（2n）（2n－2）…2。
解：（1）该排列为标准排列，所以其逆序数为0。
（2）该排列的首位元素4的逆序数为0，第2位元素1的逆序数为1，第3位元素3的逆序数为1，末位元素2的逆序数为2，所以其逆序数为：0＋1＋1＋2＝4。
（3）该排列的前两位元素的逆序数均为0，第3位元素2的逆序数为2；末位元素1的逆序数为3，所以其逆序数为：0＋0＋2＋3＝5。
（4）该排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0，0，2，1，所以其逆序数为：0＋0＋2＋1＝3。
（5）该排列中前n位元素的逆序数均为0，第n＋1位元素2与它前面的n－1个数构成逆序对，所以它的逆序数为n－1；同理可知，第n＋2位元素4的逆序数为n－2……末位元素2n的逆序数为0，因此该排列的逆序数为：（n－1）＋（n－2）＋…＋0＝n（n－1）/2。
（6）该排列的前n＋1位元素的逆序数均为0；第n＋2位元素（2n－2）的逆序数为2；第n＋3位元素2n－4与它前面的2n－3，2n－1，2n，2n－2构成逆序对，所以它的逆序为4，……，末位元素2的逆序数为2（n－1），因此该排列的逆序数为：2＋4＋…＋2（n－1）＝n（n－1）。
3、写出四阶行列式中含有因子a11a23的项。
解：根据行列式的定义可知，此项必定还含有分别位于第3行和第4行的某两元素，而它们又分别位于第2列和第4列，即a32和a44或a34和a42，又因排列1324与1342的逆序数分别为1与2，所以，此行列式中含有a11a23的项为－a11a23a32a44与a11a23a34a42。