第2章 随机变量及其分布
2.1 复习笔记
一、随机变量及其分布（见表2-1-1）
表2-1-1 随机变量及其分布
注：当F（x）在a与b处连续时，有F（a－0）＝F（a），F（b－0）＝F（b）。
二、随机变量的数学期望
数学期望的性质
（1）定理：若随机变量X的分布用分布p（xi）或用密度函数p（x）表示，若X的某一函数g（X）的数学期望存在，则
（2）E（c）＝c（c为常数）。
（3）E（aX）＝aE（X）（a为常数）。
（4）E（g1（x）±g2（x））＝E（g1（x））±E（g2（x））。
三、随机变量的方差与标准差
1方差的性质
（1）Var（X）＝E（X2）－[E（X）]2。
（2）Var（c）＝0（c为常数）。
（3）Var（aX＋b）＝a2Var（X）（a、b为常数）。
2切比雪夫不等式
（1）定理一（切比雪夫不等式）
设随机变量X的数学期望和方差都存在，则对任意常数ε＞0，有
或
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茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版教材笔记 |
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（2）定理二
若随机变量x的方差存在，则Var（X）＝0的充要条件是X几乎处处为某个常数a，即P（X＝a）＝1。
四、常用离散分布
1常用离散分布的期望和方差（见表2-1-2）
表2-1-2 常用离散分布的期望和方差
2二项分布的泊松近似
泊松定理：在n重伯努利试验中，记事件A在一次试验中发生的概率为pn（与试验次数n有关），如果当n→∞时，
有npn→λ，则
。
3几何分布的无记忆性
定理（几何分布的无记忆性）：设X～Ge（P），则对任意正整数m与n有P（X＞m＋n|X＞m）＝P（X＞n）。
五、常用连续分布
1标准正态分布N（0，1）
（1）φ（－u）＝1－φ（u）；
（2）P（U＞u）＝1－φ（u）；
（3）P（a＜U＜b）＝φ（b）－φ（a）；
（4）P（|U|＜c）＝2φ（c）－1（c≥0）。
2正态变量的标准化正态分布
定理：若随机变量X～N（μ，σ2），则U＝（X－μ）/σ～N（0，1）。
3正态分布的3σ原则
设随机变量X～N（μ，σ2），则
尽管正态变量的取值范围是（－∞，∞），但它的99.73%的值落在（μ－3σ，μ＋3σ）内。
4常用连续分布的期望与方差（见表2-1-3）
表2-1-3连续分布的期望和方差
六、连续随机变量函数的分布（见表2-1-4）
表2-1-4 Y＝g（X）的分布
七、分布的其他特征数（见表2-1-5）
表2-1-5 分布的其他特征数
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