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（2）课后答案。对该教材的课（章）后习题进行了详细的分析和解答。
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胡寿松《自动控制原理》（第7版）考点讲义
第2章 控制系统的数学模型
一、控制系统的时域数学模型
1建立控制系统微分方程的步骤
（1）依据系统原理图，结合相应的学科规律，分别列写组成系统各元件的微分方程；
（2）消去中间变量，得到描述系统输出量与输入量关系的微分方程。
【注意】①信号传递的单向性；②后级元件对前级元件的负载效应。
2线性系统的基本特性
（1）叠加性：对于一个y＝f（t）的系统，若满足f（t1＋t2）＝f（t1）＋f（t2），则称系统具有叠加性；
（2）齐次性：对于一个y＝f（t）的系统，若满足f（Kt）＝Kf（t），则称系统具有齐次性。
同时满足齐次性和叠加性的系统称线性系统。
3线性定常微分方程的求解——拉氏变换法
（1）考虑初始条件，对微分方程中的各项分别进行拉氏变换；
（2）求解代数方程，得到输出量拉氏变换函数的表达式；
（3）对输出量拉氏变换表达式进行反变换，得到时域表达式，即为所求微分方程的解。
4非线性微分方程的线性化
（1）在一定条件下，可直接将一些元件视为线性元件；
（2）切线法或小偏差法，即在一个很小的范围内，将非线性特性用一段直线来代替。
5运动的模态（见表2-1-1）
表2-1-1 运动的模态
二、控制系统的复数域数学模型
1传递函数及其性质
线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。数学表达式为：
性质：
（1）m≤n，且所有的系数均为实数；
（2）传递函数表示输出量与输入量之间的关系，只与系统（或元件）本身和结构参数有关，但不反映系统内部的任何信息。
【注意】传递函数是一确定系统的固有性质，与输入输出无关。此处是考研常考且考生易混淆的概念之一。
（3）传递函数与微分方程可相互转化；（微分算符d/dt与复数s相互置换即可）
（4）传递函数的拉氏反变换是单位脉冲响应，反映系统的运动特性。
2传递函数的零点和极点
传递函数的分子多项式和分母多项式因式分解后可得到如下形式：
则式中，zi为传递函数的零点；pj为传递函数的极点；系数K*＝b0/a0称为传递系数或根轨迹增益。
【注意】传递函数的这种表示形式在频率法中使用较多。
3传递函数的零极点对输出的影响
（1）传递函数的极点就是系统微分方程的特征根，决定了系统响应中自由运动的模态；
（2）传递函数的零点影响各模态在响应中所占的比重，从而影响响应曲线的形状。
| 内容来源 |
胡寿松《自动控制原理》笔记讲义 |
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三、控制系统的结构图与信号流图
1结构图的等效变换和简化
（1）串联（如图2-1-1）
图2-1-1 方框串联连接及其简化
（2）并联（如图2-1-2）
图2-1-2 方框并联连接及其简化
（3）反馈（如图2-1-3）
图2-1-3 方框反馈连接及其简化
（4）比较点和引出点的移动
①注意在移动前后必须保持信号的等效性，而且比较点和引出点一般不宜交换其位置；
②“－”号可以沿信号线越过方框，但不可越过比较点和引出点。
2信号流图的组成及性质
（1）组成
①源节点；②阱节点；③前向通路：从源节点到阱节点之间，与每个节点仅相交一次的通道；④回路：起于并终于同一节点，且与其他任何节点相交不多于一次的闭合通道；⑤不接触回路：相互之间无公共节点的回路。
（2）信号流图的基本性质
①节点标志系统的变量，每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之和，而从同一节点流向各支路的信号均用该节点的变量表示；
②支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号；
③信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有因果关系；
④对给定系统，其节点变量的设置是任意的，因此信号流图不是唯一的。
3信号流图求解传递函数步骤（Mason公式）
（1）找出信号流图中的所有单独回路，并确定其中的不接触回路；
（2）求出流图特征式Δ＝1－∑La＋∑LbLc－∑LdLeLf＋…，其中∑La表示所有单独回路增益之和，∑LbLc表示每两个互不接触的回路增益的乘积之和，∑LdLeLf表示每三个互不接触的回路增益乘积之和，……依次类推；
（3）找出信号流图中的所有前向通路，并求其增益pk；
（4）去掉信号流图的特征式与第k条前向通路接触的所有回路的回路增益项，得到流图余因子式Δk；
（5）由式 
求出系统的传递函数，其中n为前向通路总数。
4闭环系统的传递函数
一个典型的反馈控制系统的结构图如图2-1-4所示。
图2-1-4 反馈控制系统的典型结构图
（1）输入信号作用下的闭环传递函数
输入信号作用下，即R（s）≠0，N（s）＝0时，有：
（2）扰动作用下的闭环传递函数
扰动信号作用下，即R（s）＝0，N（s）≠0时，有：
（3）输入和扰动同时作用下的闭环传递函数
输入信号和扰动信号同时作用下，系统的输出量为：
（4）闭环系统的误差传递函数
闭环系统在输入信号和扰动作用下，以误差信号E（s）作为输出量时的传递函数称为误差传递函数，如下：
【注意】在考研试题求系统稳态误差的问题中，除简单题目能使用静态误差系数法外，最基本的方法是利用误差传递函数求解 
（拉氏变换终值定理）。此外，在输入信号为正弦激励f（t）＝Asin（ωt＋φ）时，只能使用误差传递函数法ess（∞）＝A|Φe（jω）|sin[ωt＋φ＋∠Φe（jω）]来求解稳态误差，此时输出c（t）的求解亦同理。
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