同济大学《高等数学》第7版考研真题详解 【点击文中链接获取完整内容】
一、选择题
1、函数
在
内（ ）。[数二2015]
A．连续
B．有可去间断点
C．有跳跃间断点
D．有无穷间断点
【答案】B
【解析】因为
所以f（x）在x＝0点左右极限都存在且
，又f（x）在x＝0无定义，根据间断点定义及性质判断，
f（x）有可去间断点x＝0。
2、设{xn}是数列，下列命题中不正确的是（ ）。[数三2015研]
A．若
，则
B．若，则
C．若，则
，则
D．若
，则
【答案】D
【解析】数列收敛，则它的任何无穷子列均收敛，所以AC两项正确；一个数列存在多个无穷子列，如果这些子列的并集包
含原数列所有项，且这些子列均收敛于同一个值，则原数列是收敛的。因D项中两个无穷子列的并集未包含原数列所有
项，B项正确，D项错误。
3、下列曲线有渐近线的是（ ）。[数一、数二、数三2014研]
A．y＝x＋sinx
B．y＝x2＋sinx
C．y＝x＋sin（1/x）
D．y＝x2＋sin（1/x）
【答案】C
【解析】对于y＝x＋sin（1/x），可知
故y＝x＋sin（1/x）有斜渐近线y＝x。
4、当x→0＋时，若lnα（1＋2x），（1－cosx）1/α，均是比x高阶的无穷小，则α的取值范围是（ ）。[数二2014研]
A．（2，＋∞）
B．（1，2）
C．（1/2，1）
D．（0，1/2）
【答案】B查看答案
【解析】当x→0＋时lnα（1＋2x）～（2x）α，（1－cosx）1/α～（x2/2）1/α＝（1/2）1/α·x2/α
由题意可知
，所以α的取值范围是（1，2）。
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5、设
，则当n充分大时，下列正确的有（ ）。[数三2014研]
A．|an|＞|a|/2
B．|an|＜|a|/2
C．an＞a－1/n
D．an＜a＋1/n
【答案】A查看答案
【解析】因为，所以∀ε＞0， ∃N，当n＞N时，有|an－a|＜ε，即a－ε＜an＜a＋ε， ||a|－ε|＜|an|≤|a|＋ε，
取ε＝|a|/2，则知|an|＞|a|/2。
6、设P（x）＝a＋bx＋cx2＋dx3，则当x→0时，若P（x）－tanx是比x3高阶的无穷小，则下列选项中错误的是
（ ）。[数三2014研]
A．a＝0
B．b＝1
C．c＝0
D．d＝1/6
【答案】D查看答案
【解析】当x→0时， tanx＝x＋x3/3＋o（x3），故
得a＝0，b＝1，c＝0，d＝1/3。
7、设cosx－1＝xsinα（x），其中|α（x）|＜π/2，则当x→0时，α（x）是（ ）。[数二2013研]
A．比x高阶的无穷小量
B．比x低阶的无穷小量
C．与x同阶但不等价的无穷小量
D．与x等价的无穷小量
【答案】C查看答案
【解析】由cosx－1＝xsinα（x），得
得
又|α（x）|＜π/2，可得，因此知α（x）是x→0时的无穷小量，且有
因此得
所以α（x）是与x同阶但不等价的无穷小量。
8、设函数
， 
，则（ ）。[数二2013研]
A．x＝π是函数F（x）的跳跃间断点
B．x＝π是函数F（x）的可去间断点
C．F（x）在x＝π处连续但不可导
D．F（x）在x＝π处可导
【答案】C查看答案
【解析】由题意得
计算得
所以F（x）在x＝π处连续。
又
所以F′－（π）≠F′＋（π），即F（x）在x＝π处不可导。
综上知，F（x）在x＝π处连续但不可导。
……
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