2026年运筹学考研题库（含考研真题）

【内容节选】 第一章　线性规划及单纯形法   一、判断题 1线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点。（　　）[北京交通大学2010研] 【答案】×查看答案 【解析】基解不一定是可行解，基可行解一一对应着可行域的顶点。   2若线性规划问题的可行解为最优解，则该可行解必定是基可行解。（　　）[南京航空航天大学2011研] 【答案】√查看答案 【解析】基解且可行才有可能是最优解。   3如果线性规划问题无最优解，则它也一定没有基可行解。（　　）[东北财经大学2008研] 【答案】×查看答案 【解析】当问题的可行域是无界的，因而有无界的可行解。此时该问题无有限最优解，但是存在基可行解。   4若x（1）、x（2）分别是某一线性规划问题的最优解，则x＝λ1x（1）＋λ2x（2）也是该线性规划问题的最优解，其中λ1、λ2为正的实数。（　　）[北京交通大学2010研] 【答案】×查看答案 【解析】必须规定λ1＋λ2＝1，且λ1，λ2≥0。当某一线性规划问题存在两个最优解时，则它一定存在无数个最优解，最优解为x＝λ1x（1）＋λ2x（2）且λ1＋λ2＝1，λ1，λ2≥0。   二、选择题 1若线性规划问题没有可行解，可行解集是空集，则此问题（　　）。[暨南大学2019研] A．没有无穷多最优解 B．没有最优解 C．有无界解 D．有最优解 【答案】B查看答案 【解析】有最优解的前提是有可行解，该题无可行解，则也无最优解。   2单纯形法中，关于松弛变量和人工变量，以下说法正确的是（　　）。[中山大学2008研] A．在最后的解中，松弛变量必须为0，人工变量不必为0 B．在最后的解中，松弛变量不必为0，人工变量必须为0 C．在最后的解中，松弛变量和人工变量都必须为0 D．在最后的解中，松弛变量和人工变量都不必为0 【答案】B查看答案 【解析】松弛变量是在约束不等式号的左端加入的，在最后的解中，其值可以不必为0；人工变量是在原约束条件为等式的情况下加入的，只有基变量中不再含有非零的人工变量时，原问题才有解，所有最后的解中人工变量必须为0。如果人工变量不为0，则原问题无可行解。   3（多选）线性规划可行域为封闭的有界区域，最优解可能是（　　）。[中山大学2007研] A．唯一的最优解 B．一个以上的最优解 C．目标函数无界 D．没有可行解 【答案】AB查看答案 【解析】可行域非空，故有可行解；可行域封闭，故目标函数有界，有一个或多个最优解。   4（多选）线性规划的最优解有以下几种可能？（　　）[中山大学2008研] A．唯一最优解 B．多个最优解 C．没有最优解，因为目标函数无界 D．没有最优解，因为没有可行解 【答案】ABCD查看答案 【解析】线性规划问题的每个基可行解对应可行域的一个顶点，若现行规划问题有最优解，必在某个顶点上得到，当该顶点唯一时，有唯一最优解；当目标函数在多个顶点上达到最大值时，则该问题有无限多个最优解；目标函数无界，称线性规划问题具有无界解，此时无最优解；使目标函数达到最大的可行解称为最优解，故没有可行解就没有最优解。   三、填空题 1对于线性规划问题：Max Z＝CX；AX≤b，X≥0，若B＝（P1，P2，…，Pm）为A中m个线性无关的列向量，且为该LP的一个可行基，则对应于基B的基可行解为：______，该基可行解为最优解的条件是：______。[武汉大学2005研] 【答案】X＝（x1，x2，…，xm，0，…，0）T；对于一切j＝m＋1，…，n，有σj≤0 【解析】若B＝（P1，P2，…，Pm）为A中m个线性无关的列向量，此时令非基变量xm＋1＝xm＋2＝…＝xn＝0，这时变量的个数等于线性方程组的个数，用高斯消去法，可求得对应于基B的基可行解为X＝（x1，x2，…，xm，0，…，0）T 。由最优解的判别定理，若对于一切j＝m＋1，…，n，有σj≤0，则所求得的基可行解为最优解。   2当极大化线性规划模型达到最优时，某非基变量xj的检验数为σj，当价格系数为cj的变化量为?cj时，原线性规划问题最优解保持不变的条件是______。[武汉大学2005研] 【答案】σj＋?cj≤0 【解析】xj为非基变量，其价格系数变化?cj后，其检验数变为σj′＝σj＋?cj ，极大化线性规划模型最优解保持不变的条件是σj′＝σj＋?cj ≤0。   3若X为某极大化线性规划问题的一个基可行解，用非基变量表达其目标函数的形式为则X为该LP最优解的条件是：______。[武汉大学2006研] 【答案】σj≤0 【解析】求极大化问题，则当所有非基变量的检验数均为非正时，即得最优解。线性规划最优时要求非基变量检验数小于等于0，所以σj≤0。   4两阶段法中，若第一阶段目标函数最优值不为0，则原问题______。[北京科技大学2011研] 【答案】无可行解查看答案 【解析】第一阶段目标函数值不是0，则说明最优解的基变量中含有非零的人工变量，表明原线性规划问题无可行解。   四、简答题 简述目标规划单纯形法求解的基本思想。[南京航空航天大学2009研] 答：目标规划单纯形法求解的基本思想为： （1）建立初始单纯形表，在表中将检验数行按优先因子个数分别列成K行，置k＝1； （2）检查该行中是否存在负数，且对应的前k－1行的系数是零。若有负数取其中最小者对应的变量为换入变量，转第（3）步。若无负数。则转第（5）步；   （3）按最小比值规则确定换出变量，当存在两个和两个以上相同的最小比值时，选取具有较高优先级别的变量为换出变量； （4）按单纯形法进行基变换运算，建立新的计算表，返回第（2）步； （5）当k＝K时，计算结束。表中的解即为满意解。否则置k＝k＋1，返回到第（2）步。   五、计算题 1用单纯形法求解如下LP问题：[大连理工大学2005研] 解：将原问题标准化： 利用单纯形法，求解如表1-1所示。 表1-1 此时，σj≤0，故已达最优，原问题的最优解为：X*＝（1/5，0，8/5，0，0，4）T，w*＝－3×1/5－3×8/5＝－27/5   2用单纯形法求解下列线性规划问题。[武汉大学2006研] 解：将上述线性规划问题化为标准型为： 用单纯形表计算如表1-2所示。 表1-2 所以，最优解为X*＝（40，5，0，0，0，15）T，最优目标函数值为z*＝40×15＋30×5＝750。   3对含参数线性规划问题（参数t≥0）： （1）令t＝0用单纯形法求解。 （2）讨论t对最优解、最优值的影响（即给出t在不同取值范围内的最优解、最优值）。[上海交通大学2004研] 解：（1）令t＝0，标准型为： 采用单纯形法求解，如表1-3所示。 表1-3 故单纯形法解得：X*＝（2，4，0，0）T，max z＝2＋3×4＝14。 （2） 代入（1）中最优单纯形表，继续求解，如表1-4所示（t≥0）。 表1-4 当2－t≥0时，即0≤t≤2时，最优基不变，则：X*＝（2－t，4，0，0）T，max z＝2－t＋3×4＝14－t。 当t增大时，2－t＜0，采用对偶单纯形法，继续求解。 当，即2＜t≤6时，有：X*＝（0，6－t，0，3t－6）T，max z＝3×（6－t）＝18－3t。 当t再增大时，即t＞6时，无可行解。   4已知线性规划问题： （1）求解该问题的最优解。 （2）若右端常数列由变为，试利用（1）的最优表计算（2）的最优解。[上海交通大学2006研] 解：（1）首先将问题化为标准型： 采用单纯形法求解，如表1-5所示。 表1-5 此时，检验数均小于等于0，即达到最优，最优解为X*＝（0，2，2，0，2，0）T，z*＝3×2＋5×2＝16。 （2） 用对偶单纯形法，继续求解，如表1-6所示。 表1-6 此时已达到最优，最优解为X*＝（0，2，2，2，0，0）T，max z＝3×2＋5×2＝16。   5用大M法（极小化为标准形式）求解得某极小化线性规划问题的最优单纯形表如表1-7所示。 表1-7 表中x4为松弛变量、x5为剩余变量、x6和x7为人工变量。试回答如下问题： （1）计算Cl和C2的数值； （2）求使最优基不变的Cl、C2的关系； （3）求原问题的三个右端常数。[武汉大学2011研] 解：（1）由最优单纯形表得到下列关系式为： （2）若最优基不变，则有下列关系式 （3） 解得原问题的三个右端常数为