公安边防消防警卫部队院校招生统考《数学》历年真题及模拟试题详解

【内容节选】 第一部分　历年真题及详解2011年公安边防消防警卫部队院校招生统考数学真题与详解一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1设全集I＝{－1，0，1，2，3}，集合M＝{1，3}，则（　　）．A．{－1，0，1，2，3}B．C．{1，3}D．{－1，0，2}【答案】D查看答案【解析】．2已知向量，，则＝（　　）．A．（4，3）B．（0，－7）C．（0，－6）D．（0，3）【答案】B查看答案【解析】．3在等比数列{an}中，若，则公比q＝（　 ）．A．B．－2C．2D．【答案】D查看答案【解析】． 4函数的反函数为（　　）．A．B．C．D．【答案】A查看答案【解析】由题意知又因为原函数值域为，所以反函数定义域为．5己知平面向量，，，，则向量与的夹角＝（　　）．A．90°B．60°C．45°D．30°【答案】B查看答案【解析】．6若，，，则a，b，c之间的大小关系是（　　）．A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．c＜b＜a【答案】C查看答案【解析】，，，因为指数函数在（－∞，＋∞）单调递增，又，所以b＜c＜a．7若直线x＋y－4＝0与圆相切，则实数a的值为（　　）．A．B．－2C．D．【答案】A查看答案【解析】圆的方程写成标准圆方程，可知圆心为（－1，2），半径为，直线与圆相切，由切线定理知圆心（－1，2）到直线的距离等于半径，即8函数的最小值为（　　）．A．4B．3C．2D．1【答案】B查看答案【解析】 当且仅当，即x＝2时取等号，所以最小值为3．9若双曲线的一条准线方程为，则b的值为（　　）．A．B．C．1D．2【答案】C查看答案【解析】易知a＝2，，准线，即，解得b＝1．10己知直线l⊥平面α，直线m平面β，则下列四个命题中，正确的命题是（　　）．A．若α⊥β，则l∥mB．若α⊥β，则l⊥mC．若l⊥m，则α∥βD．若l∥m，则α⊥β【答案】D查看答案【解析】D项，，，．11己知函数，其中A＞0，ω＞0，，它在长度为一个周期的闭区间上的图象如图1所示，则该函数的解析式是（　　）．图1A．B．C．D．【答案】B查看答案【解析】由图知A＝3，周期，．将点代入，得12有6名即将退伍的战士与排长合影留念，7人站成一排，排长站在正中间，并且甲、乙两名战士相邻，则不同的站法有（　　）．A．48种B．96种C．192种D．240种【答案】C查看答案【解析】甲乙在1，2位，或2，3位，或5，6位，或6，7位之一，有种不同的方法；甲乙两人的不同站位，有种不同的方法；其余4人有种不同的方法；据乘法原理，共有种不同的方法．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13sin330°＝______．【答案】【解析】14二项式的展开式中，常数项为______．（用数字作答）【答案】6查看答案【解析】因为，为求常数项令r＝2，所以常数项为．15已知数列{an}中，a1＝4，，则a4＝______．【答案】82查看答案【解析】依次将an（n＝1，2，3）代入得16设集合，，若A∩B＝B，则实数m的取值范围是_______．【答案】[5，＋∞）查看答案【解析】，，所以m≥5．17在正方形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，现沿EF将正方形折成直二面角（如图2），M为CF的中点，则异面直线CE与BM所成角的余弦值为_____．图2【答案】【解析】如图3所示，H是EF的中点，连接HM和HB，则HM//EC，所以∠HMB就是异面直线CE与BM所成的角．由题意，正方形折成直二面角．∵MF⊥EF，∴MF⊥平面ABFE，∴MF⊥FB；设正方形ABCD边长为4，则MF＝1，BF＝2，故在△BHM中，由余弦定理得．图318已知定义在区间[－2，2]上的奇函数f（x）单调递减．若，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】则有三、解答题（本大题共5小题，满分60分．其中19小题10分，20～22小题每小题12分，23小题14分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（10分）己知（1）求的值；（2）求tan2θ的值．解：（1），（2）由（1）得20（12分）己知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋1是偶函数，且f（1）＝0．（1）求a，b的值；（2）设g（x）＝f（x＋2），若g（x）在区间[－2，m]上的最小值为－3，求实数m的值．解：（1）是偶函数，，即又f(1)＝0，a＋b＋1＝0a＝－1，所以a＝－1，b＝0（2）由（1）知，则其图象是开口向下的抛物线，对称轴x＝－2，故g（x）在[－2，m]上递减．所以解得m＝0或m＝－4，因为m＞－2，所以m＝0．21（12分）在等比数列{an}中，己知公比q＝2，Sn是{an）的前n项和，n∈N*，．（1）求等比数列{an}的通项公式；（2）设①求证{bn}是等差数列；②求{bn）的前10项和T10．解：（1）由己知得所以（2）①，则有为常数，且n∈N*．所以{bn}是以b1＝6为首项，以3为公差的等差数列．②22（12分）己知椭圆过点（2，0），离心率．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为，求|AB|的值．解：（1）据题意，椭圆过点（2，0），离心率，则所以椭圆方程为（2）椭圆右焦点F（1，0），设直线AB方程为y＝k(x－1)，将其代入椭圆方程，消去y得设，则由AB中点的横坐标为，得因此，，所以，弦长23（14分）如图4所示，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝2，点E是棱AC的中点．（1）求证BE⊥平面ACC1A1；（2）求二面角C-BC1-E的大小；（3）求点A1到平面BC1E的距离．图4证明：（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BE平面ABC，所以BE⊥AA1．在正三角形ABC中，E是AC的中点，所以BE⊥AC，又AC∩AA1＝A，所以BE⊥平面ACC1A1．（2）由（1）知BE⊥平面ACC1A1．因为BE平面BC1E，所以平面BC1E⊥平面ACC1A1．作CH⊥C1E于H，如图5所示，则CH⊥平面BC1E．在Rt△BCC1中，BC＝CC1＝2，取BC1的中点F，连接CF，则CF⊥BC1，连接HF，则HF是CF在平面BC1E的射影，所以HF⊥BC1．所以∠CFH是二面角C-BC1-E的平面角．在Rt△BCC1中，BC＝CC1＝2，F是BC1的中点，所以，．在Rt△ECC1中在Rt△CHF中，，故二面角C-BC1-E大小为图5（3）由（1）知平面BC1F⊥平面ACC1A1，过A1作A1G⊥C1E于G，则A1G⊥平面BC1E．易知，于是所以，即点A1到平面BC1E的距离为．