曾谨言量子力学教程第三版答案详解

[大] [中] [小] 发布人：达聪学习网发布日期：2022-05-12 共254人浏览过

曾谨言《量子力学教程》（第3版）笔记和课后习题（含考研真题）详解【完整内容点链接获取】

第一章波函数与Schrödinger方程

1-1 设质量为m的粒子在势场V（r）中运动。
（a）证明粒子的能量平均值为E＝∫Wd³r，式中

（b）证明能量守恒公式

证明：（a）由力学量的平均值可得：粒子能量平均值为（设ψ已归一化）

其中第一项可化为面积分，对于归一化的波函数，可以证明此面积分为零（见《量子力学教程》，18页脚注），所以

（b）按能量密度W和能流密度s的定义和含时薛定谔方程

因此

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曾谨言《量子力学教程》（第3版）笔记和课后习题（含考研真题）详解

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2．解析课后习题，提供详尽答案。本书参考大量量子力学相关资料，对曾谨言《量子力学教程》（第3版）的课后习题进行了详细的分析和解答。
3．精选考研真题，巩固重难点知识。为了强化对重要知识点的理解，本书精选了部分名校近年的量子力学考研真题和相关典型习题，这些学校均以该教材作为考研参考教材。所选考研真题基本涵盖了每章的考点和难点，特别注重理论联系实际，凸显当前热点。

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1-2 考虑单粒子的Schrodinger方程

V₁与V₂为实函数。
（a）证明粒子的概率（粒子数）不守恒。
（b）证明粒子在空间体积τ内的概率随时间的变化为

证明：由已知Schrodinger方程
①
取复共轭
②
①×ψ*－②×ψ得

利用Stokes定理将体积分转化为面积分，可得

对于可归一化波函数，当τ→∞，上式第一项（面积分）为0，而V₂≠0，所以不为0，即粒子数不守恒。
1-3 对于一维自由粒子
（a）设波函数为

试用Hamilton算符

对ψ_p（x）运算，验证

说明动量本征态ψ_p（x）是Hamilton量（能量）本征态，能量本征值为E＝p²/（2m）
（b）设粒子在初始（t＝0）时刻，ψ（x，0）＝ψ_p（x），求ψ（x，t）
（c）设波函数为

可以看成无穷多个平面波e^ikx的叠加，即无穷多个动量本征态的叠加，试问ψ（x）＝δ（x）是否是能量本征态？
（d）设粒子在t＝0时刻ψ（x，0）＝δ（x），求ψ（x，t）。
解：（a）利用已知条件带入可得

所以动量本征态ψ_p（x）是Hamilton量（能量）的本征态，能量本征值为E＝p²/（2m）。
（b）其Fourier变换为

由于ψ（x，0）是能量本征态，因此，

（c）对于自由粒子，动量本征态，亦即能量本征态，由于δ（x）是无穷多个动量本征态的叠加，所以ψ（x）＝δ（x）不是动量本征态，即可以推知它也不是能量本征态。
（d）因为ψ（x，0）＝δ（x），由傅里叶变换可得：

所以

计算中利用了积分公式

或

所以